class: middle, left, inverse, title-slide .title[ # Описательная статистика ] .subtitle[ ## Основы биостатистики, осень 2022 ] .author[ ### Марина Варфоломеева ] --- class: center, inverse background-image: url("img/means-coffee-unsplash.png") background-position: center background-size: cover # Разнообразие средних значений .tiny[by pritesh557 at Unsplash] --- ## Среднее арифметическое Обычно под термином __среднее значение__ мы подразумеваем __среднее арифметическое__. `$$\bar{x}=\frac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}{n}=\frac{\sum x}{n}$$` Среднее в выборке обозначается `\(\bar{x}\)`, а в генеральной совокупности μ -- Хорошо работает если значения складываются (т.е. сумма величин имеет свой смысл), интуитивно понятно. Не работает, если большой разброс значений в ряду. --- ## Другие средние `$$\Bigl(\frac{x_{1}^p+x_{2}^p+\cdots+x_{n}^p}{n}\Bigr)^{\frac{1}{p}}$$` Все зависит от того, чему равно `\(p\)` - `\(p = 1\)` — среднее арифметическое - `\(p = 2\)` — среднее квадратическое - `\(p = 3\)` — среднее кубическое - `\(p = -1\)` — среднее гармоническое - `\(p \rightarrow 0\)` — среднее геометрическое --- ## Среднее квадратическое `$$\left(\frac{{x}_{1}^{2}+{x}_{2}^{2}+\ldots+{x}_{n}^{2}}{{n}}\right)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{{x}_{1}^{2}+{x}_{2}^{2}+\ldots+{x}_{n}^{2}}{n}}$$` .pull-left[ Можно использовать для двумерных признаков (для площадей) - средняя площадь квадрата, вычисленная по сторонам квадратов Дисперсия — мера разброса — так же определяется как среднеквадратичное отклонение от среднего значения в ряду. ] .pull-right[  .tiny[by vtoesca at Unsplash] ] --- ## Среднее квадратическое `$$\left(\frac{{x}_{1}^{2}+{x}_{2}^{2}+\ldots+{x}_{n}^{2}}{{n}}\right)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{{x}_{1}^{2}+{x}_{2}^{2}+\ldots+{x}_{n}^{2}}{n}}$$` .pull-left-60[ Представьте, что вы берете пробы квадратными рамками со стороной 10, 15 и 20 см. Вы хотите изменить методику и использовать усредненную рамку. Чему равна средняя сторона рамки? Нет, не 15 см (средняя арифметическая), потому что тогда можно было бы подумать, что общая площадь рамок была бы `\(3 \times 15^2 = 675 см^2\)` (на самом деле `\(10^2 + 15^2 + 20^2 = 725 см^2\)`). Если использовать среднее квадратическое `\(\sqrt{\frac{10^2 + 15^2 + 20^2} {3}}= 15.54см\)`, то будет более правильно: `\(3 \times 15.54^2 = 724.47 см^2\)` ] .pull-right-40[  .tiny[by vtoesca at Unsplash] ] --- ## Среднее кубическое `$$\left(\frac{{x}_{1}^{3}+{x}_{2}^{3}+\ldots+{x}_{n}^{3}}{{n}}\right)^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{\frac{{x}_{1}^{3}+{x}_{2}^{3}+\ldots+{x}_{n}^{3}}{n}}$$` .pull-left[ Используется для объемных признаков: - средний объем клеток листа по их диаметрам ] .pull-right[  .tiny[[pxhere](https://pxhere.com/en/photo/1068793)] ] --- ## Среднее гармоническое `$$\left(\frac{x_{1}^{-1}+x_{2}^{-1}+\ldots+x_{n}^{-1}}{n}\right)^{-1}=\frac{n}{\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}+\ldots+\frac{1}{x_{n}}}$$` .pull-left[ Используется, если величины представлены отношениями в расчете на какую-то единицу. Например, средняя скорость, когда известны скорости в расчете на одну единицу времени (или расстояния) Пусть улитка преодолела определенное расстояние на разных типах поверхности со скоростью 12 м/ч и 11 м/ч. Тогда средняя скорость будет рассчитываться как средняя гармоническая (= 2 / (1/12 + 1/11) = 11.48 м/ч). ] .pull-right[  .tiny[by felixberger at Unsplash] ] --- ## Среднее гармоническое `$$\left(\frac{x_{1}^{-1}+x_{2}^{-1}+\ldots+x_{n}^{-1}}{n}\right)^{-1}=\frac{n}{\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}+\ldots+\frac{1}{x_{n}}}$$` .pull-left-60[ Можно сказать, что среднее гармоническое __используется, когда один и тот же объем работы выполняется с разной производительностью__. Например, студент может читать учебник (30 стр./ час) или конспектировать его (10 стр./час). Сколько в среднем страниц он обработает за час? 2 / (1/30+1/10) = 15 стр. Поскольку он делает оба действия, нас интересует его средняя производительность — делим на 2, получится 7.5 стр. ] .pull-right-40[  .tiny[by felixberger at Unsplash] ] Проверяем: студент потратит на чтение 7.5 страниц 7.5 / 30 = 0.25 часа, а на конспектирование 7.5 / 10 = 0.75 часа. Всего 0.25 + 0.75 = 1 час. Т.обр., если студент будет и читать, и конспектировать, на 7.5 страниц потребуется 1 час. ??? Еще примеры - средняя цена, когда известны количества товара, купленные на одну и ту же сумму. - средняя цена акций, купленных на фиксированную сумму в разные даты покупки (5 а за 1000 и 7 а за 1000). - средняя скорость по дороге на работу/домой - --- ## Среднее геометрическое = среднее пропорциональное `$$\sqrt[n]{x_{1} \cdot x_{2} \cdot \ldots \cdot x_{n}}$$` .pull-left[ Используется если между величинами мультипликативные отношения (т.е. показывают, во сколько раз что-то изменилось) для вычисления средней скорости изменения. - средняя скорость роста численности популяции на определенном отрезке, если известно, во сколько раз она изменилась за каждый период ] .pull-right[  .tiny[World Population Growth. Our World in Data; Author: Max Roser, <br/>[CC BY-SA 4.0](https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0), via Wikimedia Commons] ] --- ## Среднее геометрическое = среднее пропорциональное `$$\sqrt[n]{x_{1} \cdot x_{2} \cdot \ldots \cdot x_{n}}$$` .pull-left[ Например, численность рысей увеличилась за год в 1.5 раза, а потом за другой год еще в 1.2 раза. Т.е. всего в 1.8 раз за два года. Среднее арифметическое не подходит, т.к. получится 1.35 раза в год и за два года 1.35 * 1.35 = 1.825. Средняя геометрическая = 1.34 раза и за два года 1.34 * 1.34 = 1.79, что гораздо ближе к истинному значению. ] .pull-right[  .tiny[World Population Growth. Our World in Data; Author: Max Roser, <br/>[CC BY-SA 4.0](https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0), via Wikimedia Commons] ] --- ## Среднее геометрическое = среднее пропорциональное `$$\sqrt[n]{x_{1} \cdot x_{2} \cdot \ldots \cdot x_{n}}$$` .pull-left[ Другие примеры: - скидки в %, средняя скидка - площади, есть участок — можно вычислить сторону квадрата такой же площади - темпы инфляции в % за период, средняя инфляция - средняя доходность, если известна доходность в % за каждый период ] .pull-right[  .tiny[World Population Growth. Our World in Data; Author: Max Roser, <br/>[CC BY-SA 4.0](https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0), via Wikimedia Commons] ]