Вероятности и распределения

.title[
# Вероятности и распределения
]
.subtitle[
## Основы биостатистики, осень 2022
]
.author[
### Марина Варфоломеева
]

---

- Вероятность
- Распределения вероятностей
- Действия с вероятностями
- Деревья вероятностей
- Зависимые события
- Условная вероятность
- Нормальное распределение

---

# Вероятность

![](img/meme-statistics-means-never-having-to-say-you-re-certain.png)

???

Начинаем разговор о неопределенности оценок. Действительно, статистика позволяет (или заставляет) говорить, что ты не уверен, и в какой именно степени не уверен в своих оценках.

Вероятности чертовски важны в биологии, т.к. мы практически всегда (в 99% случаев) работаем с выборками. Свойства этих выборок во многом определяются случайностями в процессе сбора данных.

---

## Вероятность

Представьте, что ваш плейлист состоит из 1000 песен и вы нажимаете кнопку `shuffle`.

- Какова вероятность, что единственная самая любимая вами песня будет первой?
- Какова вероятность, что первой будет не самая любимая песня?

Представьте, что вы в лифте в 15 этажном доме, но нажали на случайную кнопку.

- Какова вероятность, что вы приедете на нужный вам этаж с первой попытки? 
- Какова вероятность того, что вы попадете на неправильный этаж?

---

## Случайное испытание

В результате случайного __испытания__ происходит или не происходит случайное __событие__.

Случайному событию могут благоприятствовать один или несколько __элементарных исходов__.

![](img/dice-4.png)

Испытание:  
бросок шестигранного кубика

Элементарные исходы:  
может выпасть 1, 2, 3, 4, 5, 6

Событие:  
на кубике выпало 4

]

Испытание:  
нажимаем shuffle

Элементарные исходы:  
первым может оказаться любой из треков плейлиста

Событие:  
первый трек — любимая песня

<br/>

Испытание:  
нажимаем кнопку лифта 15-этажного дома

Элементарные исходы:  
лифт может приехать на любой из 15 этажей

Событие:  
попали на нужный этаж

]

???

TODO: Примеры случайных испытаний и событий:

- бросаем кубик - выпало четыре
- монетка - выпал орел

---

## Вероятность

Вероятность события — это доля случаев, когда происходит это событие в ряду испытаний.

`$$0 \le P \le 1$$`

`$P(A)$` — вероятность того, что произошло некоторое событие `$A$`:

- `$P(\text{на кубике выпало 4})$`

- `$P(\text{на кубике выпало четное число})$`

- `$P(\text{в семье из 3 детей все девочки})$`

- `$P(\text{в последовательности из 10 нуклеотидов только G})$`

- в случайной выборке людей оцениваем долю рыжеволосых

- в случайной выборке новорожденных считаем долю детей с синдромом Дауна

???

TODO: Проверить фриквентистское определение вероятности

---

## Диаграмма Венна

__Диаграмма Венна__ (= диаграмма Эйлера-Венна) — схематическое изображение множества (= пространства) всех элементарных исходов и его подмножеств, соответствующих определенным событиям.

- На кубике выпало 4

![](img/venn-diag-dice.png)

]

- На кубике выпало 3 или больше

![](img/venn-diag-dice-2.png)

]

Вероятность события легко оценить, посчитав долю элементарных исходов, благоприятствующих этому событию.

---

## Совместные и несовместные события

События A и B называются __несовместными__, если
`$P(\text{A и B}) = 0$`

.pull-left[
- Выпало 4 и выпало 2 — __несовместные__ события (mutually exclusive events).
]
.pull-right[
- Выпало 4 и выпало четное число — __совместные__ события.
]

![](img/venn-diag-dice-3.png)

---

# Распределения вероятностей

---

## Распределение вероятностей

Все возможные исходы и их вероятности.

Дискретные и непрерывные распределения вероятностей

---

## Дикретные распределения вероятностей

Для кубика вероятность каждого исхода — 1/6.

![](07-probabilities_files/figure-html/unnamed-chunk-1-1.png)

]

Для честной монетки вероятность каждого исхода — 1/2

![](07-probabilities_files/figure-html/unnamed-chunk-2-1.png)

]

Теоретическое распределение дискретной случайной величины `$x$` описывает вероятность получения определенного значения `$x$`.

---

## Другие примеры дискретных распределений

Распределение числа левшей в случайной выборке из 27 человек. Ожидаемая вероятность леворукости — 0.08.

![](07-probabilities_files/figure-html/unnamed-chunk-3-1.png)

]

Распределение числа смертей в год от удара копытом лошади или мула в корпусах Прусской армии. Ожидаемая вероятность смерти от удара копытом за год в корпусе армии — 0.486.

![](07-probabilities_files/figure-html/unnamed-chunk-4-1.png)

]

---

## Непрерывные распределения вероятностей

![](07-probabilities_files/figure-html/g-norm-1.png)

]
.pull-right[

Описывают, какие значения может принимать непрерывная случайная величина.

]

???

Непрерывные переменные могут принимать любое значение в пределах диапазона. Т.е. между любыми двумя возможными значениями — бесконечное число других возможных значений.

---

## Относительная частота и плотность вероятности

![](07-probabilities_files/figure-html/gg-norm-hist-curve-1.png)

]

На "сырых" данных мы можем посчитать число наблюдений с разными значениями `$x$`. __Частота__ — это то, что мы бы нарисовали на гистограмме.

Теоретическое распределение непрерывной случайной величины `$x$`  описывает вероятность получить значение `$x$` в определенном диапазоне т.е. __плотность вероятности__.

]

__Плотность вероятности__ `$f(x)$` — это способ задания вероятности непрерывной случайной величины `$x$` на любом диапазоне значений.

---

## Вероятности — площади под кривой распределения

![](07-probabilities_files/figure-html/unnamed-chunk-5-1.png)

]
.pull-right[

Площадь под всей кривой `$= 1$`.

Вероятность встречи значений `$x$` из определенного промежутка можно узнать, проинтегрировав функцию распределения `$f(x)$`.

Вероятность конкретного значения нельзя определить, т.к. это точка, а под точкой нет площади.

]

---

# Действия с вероятностями

---

## Группы крови

В среднеевропейской популяции частота встречаемости групп крови по системе AB0 представлена в таблице.

.pull-left[
<br/>
<table>
 <thead>
  <tr>
   <th style="text-align:left;"> Группа крови </th>
   <th style="text-align:right;"> Вероятность </th>
  </tr>
 </thead>
<tbody>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> 0 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.43 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> A </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.42 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> B </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.11 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> AB </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.04 </td>
  </tr>
</tbody>
</table>

]

]

Нельзя иметь одновременно две группы крови по системе AB0, поэтому это несовместные события.

Рассмотрим на их примере действия с вероятностями.

---

## Сложение вероятностей

.content-box-grey[
Если события A и B несовместны, то вероятность того, что произойдет одно или другое — это сумма их вероятностей.

`$P(A~or~B) = P(A) + P(B)$`
]
--

<br/>

Какова вероятность, что у человека кровь одной из трех групп: (A, B или AB)?

<br/>

<table>
 <thead>
  <tr>
   <th style="text-align:left;"> Группа крови </th>
   <th style="text-align:right;"> Вероятность </th>
  </tr>
 </thead>
<tbody>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> 0 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.43 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> A </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.42 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> B </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.11 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> AB </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.04 </td>
  </tr>
</tbody>
</table>

`$P(A~or~B~or~AB) = P(A) + P(B) + P(AB) = 0.57$`

---

## Пространство всех событий

<br/>

![](07-probabilities_files/figure-html/unnamed-chunk-8-1.png)
]

`$P(0) + P(A) + P(B) + P(AB) = 1$`

---

## Отрицание

Вероятность того, что событие не произойдет равна 1 минус вероятность того, что оно произойдет.

`$P(not A) = 1 - P(A)$`

]
.pull-left[

<br/>

]
.pull-right[

![](07-probabilities_files/figure-html/unnamed-chunk-9-1.png)
]

`$P(not A) = 1 - P(A) = 0.58$`

---

## Независимые события

События __независимы__, если то, что произошло одно из них, никак не влияет на то, что произойдет второе.

<br/>

Помимо групп крови по системе AB0 есть еще резус фактор Rh + или -.  
Эти признаки взаимно независимы.

В европейской популяции частота Rh+ 0.85.

]
.pull-right[

]

---

## Произведение независимых событий

Если события A и B независимы, то вероятность того, что произошли оба события одновременно равна произведению их вероятностей. (Это справедливо для любого числа независимых событий).

`$P(A~and~B) = P(A) \times P(B)$`
]

<br/>

В европейской популяции частота Rh+ 0.85.

Каковы вероятности групп крови AB0 с учетом Rh (если предположить, что они независимы)?

]

.pull-right[
<table>
 <thead>
  <tr>
   <th style="text-align:left;"> AB0 </th>
   <th style="text-align:left;"> Rh </th>
   <th style="text-align:right;"> Вероятность </th>
  </tr>
 </thead>
<tbody>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> 0 </td>
   <td style="text-align:left;"> + </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.366 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> 0 </td>
   <td style="text-align:left;"> – </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.064 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> A </td>
   <td style="text-align:left;"> + </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.357 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> A </td>
   <td style="text-align:left;"> – </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.063 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> B </td>
   <td style="text-align:left;"> + </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.094 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> B </td>
   <td style="text-align:left;"> – </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.016 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> AB </td>
   <td style="text-align:left;"> + </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.034 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> AB </td>
   <td style="text-align:left;"> – </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.006 </td>
  </tr>
</tbody>
</table>
]

---

## Независимые события и их произведение

В европейской популяции частота Rh+ 0.85. Каковы вероятности групп крови AB0 с учетом Rh (если предположить, что они независимы)?

<table>
 <thead>
  <tr>
   <th style="text-align:left;"> AB0 </th>
   <th style="text-align:left;"> Rh </th>
   <th style="text-align:right;"> Вероятность </th>
  </tr>
 </thead>
<tbody>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> 0 </td>
   <td style="text-align:left;"> + </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.366 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> 0 </td>
   <td style="text-align:left;"> – </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.064 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> A </td>
   <td style="text-align:left;"> + </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.357 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> A </td>
   <td style="text-align:left;"> – </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.063 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> B </td>
   <td style="text-align:left;"> + </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.094 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> B </td>
   <td style="text-align:left;"> – </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.016 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> AB </td>
   <td style="text-align:left;"> + </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.034 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> AB </td>
   <td style="text-align:left;"> – </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.006 </td>
  </tr>
</tbody>
</table>

]
.pull-right[

Поскольку Rh и AB0 независимы, то соотношение Rh+ и  Rh- будет одинаково в каждой группе AB0.

![](07-probabilities_files/figure-html/unnamed-chunk-10-1.png)

]

???

Множество независимых событий: Мендель и бобы, желтые (рецессивный признак) и зеленые (доминантный признак). Можно идентифицировать гетерозигот по потомству. 3/4 потомков должны быть зеленые. Какова вероятность того, что 10 потомков гетерозиготы будут зелеными? (3/4)^10 = 0.056. Пример из Whitlock, Schluter, 2015

---

# Деревья вероятностей

---

## Деревья вероятностей (probability trees)

Дерево вероятностей — это способ изобразить вероятности сочетаний нескольких случайных событий.

<br/>

В европейской популяции частота Rh+ 0.85.

Какова вероятность,

- что у случайно выбранного человека будет Rh-?
- что у двух случайных людей будет Rh-?
- что у двух случайных людей будет одинаковый резус-фактор?

---

## Нарисуем дерево вероятностей

![](img/tree-prob-rh-1.png)
Если речь идет об одном случайно выбранном человеке — все просто.

---

## Нарисуем дерево вероятностей

![](img/tree-prob-rh-2.png)

Добавляем второго случайно выбранного человека.

Резус фактор второго случайно выбранного человека не зависит от первого.

---

## Нарисуем дерево вероятностей

![](img/tree-prob-rh-3.png)
Поскольку резус фактор второго случайно выбранного человека не зависит от первого,

вероятность сочетаний этих двух независимых событий можно посчитать, перемножив вероятности.

---

## Теперь можно ответить на вопросы

![:scale 80%](img/tree-prob-rh-3.png)

.pull-left-60[
Какова вероятность, что
- у случайно выбранного человека Rh-?
- у двух случайных людей Rh-?
- у двух случайных людей одинаковый резус-фактор?
]

---

# Зависимые события

---

## Зависимые события (dependent events)

События __зависимы__, если от появления одного из них зависит вероятность появления другого.

По результатам мета-анализа исследований влияния курения на возникновение рака легких видно, что для курящих вероятность появления рака легких выше, чем для некурящих. Это зависимые события.

<br/>

<table>
 <thead>
<tr>
<th style="empty-cells: hide;border-bottom:hidden;" colspan="1"></th>
<th style="border-bottom:hidden;padding-bottom:0; padding-left:3px;padding-right:3px;text-align: center; " colspan="2"><div style="border-bottom: 1px solid #ddd; padding-bottom: 5px; ">Smoking</div></th>
<th style="empty-cells: hide;border-bottom:hidden;" colspan="1"></th>
</tr>
  <tr>
   <th style="text-align:left;"> Lung_cancer </th>
   <th style="text-align:right;"> Yes </th>
   <th style="text-align:right;"> No </th>
   <th style="text-align:right;"> Total </th>
  </tr>
 </thead>
<tbody>
  <tr>
   <td style="text-align:left;font-weight: bold;"> Yes </td>
   <td style="text-align:right;"> 17393 </td>
   <td style="text-align:right;"> 433 </td>
   <td style="text-align:right;font-weight: bold;"> 17826 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;font-weight: bold;"> No </td>
   <td style="text-align:right;"> 2043 </td>
   <td style="text-align:right;"> 8527 </td>
   <td style="text-align:right;font-weight: bold;"> 10570 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;font-weight: bold;font-weight: bold;"> Total </td>
   <td style="text-align:right;font-weight: bold;"> 19436 </td>
   <td style="text-align:right;font-weight: bold;"> 8960 </td>
   <td style="text-align:right;font-weight: bold;font-weight: bold;"> 28396 </td>
  </tr>
</tbody>
</table>

.tiny[Данные Barukčić, 2019, table 7; DOI: [10.22270/jddt.v9i1-s.2273](https://doi.org/10.22270/jddt.v9i1-s.2273)]

]

???

Barukčić, I. (2019). Smoking of tobacco is the cause of human lung cancer. Journal of Drug Delivery and Therapeutics, 9(1-s), 148-160. DOI: [10.22270/jddt.v9i1-s.2273](https://doi.org/10.22270/jddt.v9i1-s.2273)

---

## Задание

Нарисуйте дерево вероятностей

]

![:scale 100%](img/tree-prob-lung-1.png)

]

<br/><br/><br/>
Вероятность курения/некурения среди всех:

`$P_{курит = да} =$`  
`$P_{курит = нет} =$`

]
.pull-right-60[

Вероятность рака среди курящих:

`$P_{рак = да | курит = да} =$`  
`$P_{рак = нет | курит = да} =$`

<br/>

Вероятность рака среди некурящих:

`$P_{рак = да | курит = нет} =$`  
`$P_{рак = нет | курит = нет} =$`

]

---

## Решение

<br/>

<br/><br/><br/>
Вероятность курения/некурения среди всех:

`$P_{курит = да} = 19436/28396 =  0.684$`  
`$P_{курит = нет} = 8960/28396 = 0.316$`

]
.pull-right-60[

![](img/tree-prob-lung-2.png)

Вероятность рака среди курящих:

`$P_{рак = да | курит = да} = 17393/ 19436 = 0.895$`  
`$P_{рак = нет | курит = да} = 2043/ 19436 = 0.105$`

<br/>

Вероятность рака среди некурящих:

`$P_{рак = да | курит = нет} = 433/ 8960 = 0.048$`  
`$P_{рак = нет | курит = нет} = 8527/ 8960 = 0.952$`

]

---

## Дерево вероятностей для этих данных

![](img/tree-prob-lung-3.png)

]
.pull-right-40[

![](07-probabilities_files/figure-html/unnamed-chunk-11-1.png)

]

<br/>

__Осторожно!__ Поскольку события "курение" и "рак легких" — зависимые, правило умножения не выполняется:

`$P(курение~и~рак) \ne P(курение) \times P(рак)$`

<br/>

На самом деле `$P(курение~и~рак) = 0.612$`.

А если ошибочно считать по формуле для независимых событий, то

`$P(курение) \times P(рак) = 0.684 \times (0.895 + 0.0483) = 0.645$`.

---

# Условная вероятность

---

## Условная вероятность (conditional probability)

__Условная вероятность__ — вероятность события, при каком-то условии (например, при условии, что произошло какое-то другое событие или события).

![](img/tree-prob-lung-3.png)

]
.pull-right-40[

<br/>

![](07-probabilities_files/figure-html/unnamed-chunk-12-1.png)

]

`$P(рак = да|курит = да) = 0.895$` —  
вероятность рака легких при условии, что человек курит

`$P(рак = да |курит = нет) = 0.0483$` —  
вероятность рака легких при условии, что человек НЕ курит

---

## Формула полной вероятности <br/> (law of the total probability)

.content-box-grey[
Вероятность события `$A$` можно вычислить исходя из его вероятностей при условии каждого из несовместных событий `$B_i$`.

`$$P(A) = \sum_{i = 1}^{n} P(A|B_i) P(B_i)$$`
]

![](img/tree-prob-lung-3.png)

]
.pull-right-45[
![](07-probabilities_files/figure-html/unnamed-chunk-13-1.png)
]

И действительно, вероятность того, что у случайно выбранного человека рак, будет складываться из площадей красных прямоугольников.
 
???

Т.е. как будто у нас получается взвешенное среднее вероятности A при всех несовместных событиях.

Иначе можно сказать, что априорная вероятность события равна среднему его апостериорной вероятности.

---

## Обобщенное правило умножения вероятностей <br/>(generel multiplication rule)

`$$P(A~and~B) = P(A) \cdot P(B|A) = \\ = P(B) \cdot P(A|B)$$`
]

![](img/tree-prob-lung-3.png)

]
.pull-right-45[
![](07-probabilities_files/figure-html/unnamed-chunk-14-1.png)
]

---

## Задание

В 80-е годы в канаде 52% взрослых мужчин курили. По оценкам исследователей вероятность развития рака лежких в течение жизни у мужчин курильщиков была 17.2 %, а у некурящих 1.2 % (Villneuve and Mao, 1994). <br/>

- Какова условная вероятность нажить себе рак для канадца, если он курил в 80е годы? <br/><br/>

- Какова вероятность того, что канадец курил в 80-е годы и у него развился рак? <br/><br/>

- Какова вероятность того, что канадец не курил в 80-е годы и не получил рак? <br/><br/>

Используйте обобщенное правило умножения вероятностей

`$$P(A~and~B) = P(A) \cdot P(B|A) = \\ = P(B) \cdot P(A|B)$$`
--

Ради интереса и самопроверки, нарисуйте дерево вероятностей и сравните результаты.

---

## Решение

В 80-е годы в канаде 52% взрослых мужчин курили. По оценкам исследователей вероятность развития рака легких в течение жизни у мужчин курильщиков была 17.2 %, а у некурящих 1.2 % (Villneuve and Mao, 1994). <br/>

- Какова условная вероятность нажить себе рак для канадца, если он курил в 80е годы?  
`$P_{рак|курильщик} = 0.172$`

- Какова вероятность того, что канадец курил в 80-е годы и у него развился рак?  
`$P_{курильщик~и~рак} = P_{курильщик} \times P_{рак|курильщик} = 0.52 \times 0.172 = 0.089$`

- Какова вероятность того, что канадец не курил в 80-е годы и не получил рак?  
`$P_{курильщик~и~нет~рака} = P_{некурящий} \times P_{нет~ рака|некурящий} = 0.48 \times 0.987 = 0.474$`

Обобщенное правило умножения вероятностей

`$$P(A~and~B) = P(A) \cdot P(B|A) = \\ = P(B) \cdot P(A|B)$$`

---

# Нормальное распределение

![](img/meme-normal-paranormal-distribution.png)

---

## Частотные распределения мерных признаков

![](07-probabilities_files/figure-html/g-hawks-hist-1.png)

Частотные распределения многих мерных признаков имеют колоколообразную форму.

---

## Нормальное распределение

![](07-probabilities_files/figure-html/g-hawks-hist-curve-1.png)

Теоретическое распределение, которое описывает многие из таких колоколообразных кривых, называется __нормальное распределение__.

---

## Нормальное распределение

![](07-probabilities_files/figure-html/g-norm-1.png)

]
.pull-right[

Нормальное распределение

- Симметричное
- Унимодальное
- Непрерывное
- Наибольшая плотность вероятности — там, где среднее значение
- `$-\infty \le x \le \infty$`
]

---

## Формула нормального распределения

![](07-probabilities_files/figure-html/g-norm-1.png)

]
.pull-right[

`$$f(x) = \cfrac {1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} \; e^{- \: \cfrac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$`

Параметры:<br/>

- `$\mu$` --- среднее значение

<br/> <br/>
- `$\sigma$` --- стандартное отклонение

]

Случайная величина `$x$` подчиняется нормальному распределению со средним `$\mu$` и стандартным отклонением `$\sigma$`.

Это кратко записывается как `$x \sim N(\mu, \sigma)$`.

---

## Параметры нормального распределения

![](07-probabilities_files/figure-html/g-norm-param-1.png)

]
.pull-right[

`$$f(x) = \cfrac {1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} \; e^{- \: \cfrac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$`

Параметры:<br/>

- `$\mu$` --- среднее значение — задает положение вершины по оси Х

<br/>
- `$\sigma$` --- стандартное отклонение — задает размах кривой распределения

]

На рисунке распределения:
- `$x_1 \sim N(\mu_1, \sigma_1)$`
- `$x_2 \sim N(\mu_2, \sigma_2)$`

]

Параметры этих распределений:
- `$\mu_1 < \mu_2$`
- `$\sigma_1 > \sigma_2$`

]

---

## Кривые распределений можно использовать <br/>для оценки вероятностей

![](07-probabilities_files/figure-html/unnamed-chunk-15-1.png)

---

## Площадь под всей кривой распределения равна 1 <br/><br/>

![](07-probabilities_files/figure-html/unnamed-chunk-16-1.png)

---

## Вероятность конкретного значения нельзя определить <br/><br/>

![](07-probabilities_files/figure-html/unnamed-chunk-17-1.png)

---

## Можно определить вероятность того, <br/>что значение будет меньше заданного

![](07-probabilities_files/figure-html/unnamed-chunk-18-1.png)

---

## Остальные площади можно найти <br/>при помощи арифметических действий

![](07-probabilities_files/figure-html/unnamed-chunk-19-1.png)

---

## Задание

Распределение диаметра колоний бактерий

![](img/WS2015p146e31.png)

]
.pull-right-40[

Какова вероятность, что диаметр случайно выбранной колонии будет лежать в заданных пределах?

- между 4 и 6 мм

- между 8 и 12 мм <br/> <br/>

- больше 10 мм <br/> <br/>

- между 8 и 10 мм <br/> <br/>

- меньше 6 мм <br/> <br/>

- меньше 4 или больше 12 мм

]

---

## Решение

Распределение диаметра колоний бактерий

![](img/WS2015p146e31.png)

]
.pull-right-40[

Какова вероятность, что диаметр случайно выбранной колонии будет лежать в заданных пределах?

- между 4 и 6 мм  `$P = 0.14$`

- между 8 и 12 мм  `$P = 0.48$` <br/> <br/>

- больше 10 мм   
`$P = 0.14 + 0.02 = 0.16$`

- между 8 и 10 мм  
`$P = 0.48 - 0.14 = 0.34$`

- меньше 6 мм  
`$P = 0.14 + 0.02 = 0.16$`

- меньше 4 или больше 12 мм  
`$P = 0.02 + 0.02$`

]

---

## Площади под кривой нормального распределения

![](07-probabilities_files/figure-html/gg-three-sigmas-1.png)

]
.pull-right[

Правило 68--95--99.7 %

Если по оси `$x$` отложить стандартные отклонения от среднего значения, то окажется, что приблизительно

- `$\sim$` 68% значений в пределах `$1\;\sigma$`
- `$\sim$` 95% --- в пределах `$2\;\sigma$`
- `$\sim$` 99.7% --- в пределах `$3\;\sigma$`

]

---

# Summary

---

## Summary: основные действия с вероятностями

- Вероятность события это доля случаев, когда это событие происходит в ряду повторных испытаний.
- Распредедение вероятностей описывает вероятности различных исходов случайного испытания.
- События называются несовместными, если не могут произойти одновременно.
- Суммарная вероятность всех несовместных событий равна 1.
- Вероятность того, что произойдет хотя бы одно из двух несовместных событий, равна сумме их вероятностей.
- Вероятность того, что произойдет одно из двух необязательно несовместных событий равна сумме их вероятностей за вычетом вероятности того, что они произошли оба.

---

## Summary: зависимые и независимые события

- Деревья вероятностей помогают записать и вычислить вероятности цепочек событий.
- Условная вероятность события - это вероятность события, при условии, что уже произошло какое-то другое событие.
- Вероятность того, что произошли одновременно два независимых события, равна произведению их вероятностей.
- Вероятность того, что произошли два зависимых события, равна произведению полной вероятности одного из них на вероятность другого при условии, что первое произошло.
- Формула полной вероятности гласит, что вероятность события можно вычислить как сумму его вероятностей при условии каждого из несовместных событий.

---

## Summary: нормальное распределение

- Нормальное распределение имеют многие мерные величины.
- Параметры нормального распределения задают положение его центра (среднее) и разброс (стандартное отклонение).
- Площади под кривой нормального распределения можно использовать для вычисления вероятности того, что значение нормально распределенной величины попадает в определенный диапазон, если известны параметры распределения этой величины в генеральной совокупности.

---

## Что почитать

- Bluman, A. G. (2005). Probability Demystified (Vol. 1). McGraw-Hill Professional.
- Whitlock, M., & Schluter, D. (2015). The analysis of biological data (Second edition)**. Roberts and Company Publishers.