class: middle, left, inverse, title-slide .title[ # Вероятности и распределения — дополненительные темы ] .subtitle[ ## Основы биостатистики, осень 2022 ] .author[ ### Марина Варфоломеева ] --- Это кусочки исключительно для самостоятельного освоения, т.к. на занятиях для этого не будет времени. Сейчас здесь только один такой кусочек — про парадокс Монти Холла. Чтобы в нем разобраться, хорошо бы представлять, что такое условная вероятность и знать теорему Байеса. --- ## Теорема Байеса `$$P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$$` -- Доказательство следует из общего правила умножения: `\(P(A~and~B) = P(A) \cdot P(B|A)\)` `\(P(A~and~B) = P(B) \cdot P(A|B)\)` `\(P(A) \cdot P(B|A) = P(B) \cdot P(A|B)\)` делим обе части на `\(P(B)\)` `\(P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}\)` ??? На самом деле теорему придумал не Байес, а Лаплас. И на портретах не Байес, поскольку его одежда не соответствует сану. См. [Queen's Lecture 2017 Zoubin Ghahramani](https://www.youtube.com/watch?v=QsEjL1kVuUE). 37:36 <!-- --- --> <!-- ## Пример использования теоремы Байеса: <br/>экспресс-тест на ковид --> <!-- `$$P(D+|T+) = \frac{P(T+|D+)P(D+)}{P(T+)}$$` --> <!-- | | Болезнь есть (D+) | Болезни нет (D–) | | --> <!-- | --- | --- | --- | --- | --> <!-- | Тест положительный (T+) | `\(P(T+\rvert D+)\)` <br/> чувствительность | `\(P(T+\rvert D-)\)` <br/> 1–специфичность | `\(\sum(T+)\)` | --> <!-- | Тест отрицательный (T-) | `\(P(T-\rvert D+)\)` <br/> 1–чувствительность | `\(P(T-\rvert D)\)` <br/>специфичность | `\(\sum(T-)\)` | --> <!-- | | `\(\sum(D+)\)` | `\(\sum(D-)\)` | `\(\sum\)` | --> <!-- --- --> <!-- ## Пример использования теоремы Байеса: <br/>экспресс-тест на ковид --> <!-- .pull-left[ --> <!-- Чувствительность (sensitivity) — способность выявлять истинно-положительный результат. --> <!-- Пусть чувствительность теста `\(P(+|covid) = 0.8\)` или 80% --> <!-- | | covid-19 | --> <!-- | ----- | -------- | --> <!-- | тест+ | 80 | --> <!-- | тест- | 20 | --> <!-- ] --> <!-- .pull-right[ --> <!-- Специфичность (specificity) — способность выявлять истинно-отрицательный результат. --> <!-- Пусть специфичность 100% --> <!-- | | здоровые| --> <!-- | ----- | ------- | --> <!-- | тест+ | | --> <!-- | тест- | 100 | --> <!-- ] --> <!-- ??? --> <!-- Можно еще риск синдрома Дауна. Данные из Newberger 2000. Пример из Whitlock, Schluter, 2015. --> --- class: middle, center, inverse # Парадокс Монти Холла --- ## Парадокс Монти Холла .pull-left-60[ Представьте, что вы участвуете в телешоу. Перед вами три двери. За одной — автомобиль, за двумя другими — коза. Вы выбираете дверь. Ведущий открывает еще одну, за которой коза, и предлагает вам изменить свой выбор. <br/> __Что выгоднее, менять или сохранять первоначальный выбор?__  .tiny[Cepheus, Public domain, via Wikimedia Commons] ] .pull-right-40[  .tiny[[Источник](http://www.singsnap.com/karaoke/member/kandie), accessed янв 29, 2015] ] -- Что за чушь! Должно быть без разницы, ведь вероятность того, что за какой-либо дверью машина — 1/3! -- Но не все так просто... --- ## Возможные начальные конфигурации .pull-left-60[  .tiny[Cepheus, Public domain, via Wikimedia Commons] ] -- .pull-right-40[ В двух случаях из трех возможных игрок выигрывает, изменив свой первоначальный выбор. Т.е. если вы __меняете свой выбор__, то вероятность выигрыша 2/3 (66%). А если вы __не меняете свой выбор__, то вероятность выигрыша 1/3 (33%). ] --- ## Если после открытия двери с козой вы заново случайным образом выбираете из двух дверей .pull-left-60[  .tiny[Cepheus, Public domain, via Wikimedia Commons] ] -- .pull-right-40[ Т.е. если вы делаете __новый выбор из двух возможностей__, вероятность выигрыша при любом раскладе будет 50%. ] --- ## На самом деле, с вероятностями не происходит ничего странного .pull-left-45[  .tiny[Cepheus, Public domain, via Wikimedia Commons] <br/> До того, как ведущий открыл дверь, вероятности, что выигрыш - за выбранной дверью 1/3 - за двумя другими 2/3 ] -- .pull-right-55[  После того, как ведущий открыл дверь с козой, вероятности, что выигрыш - за выбранной дверью 1/3 - за двумя другими 2/3 (но только за закрытой дверью, т.к. за отрытой дверью — уже точно 0) ] --- ## Дерево возможных событий, если выбрана дверь 1 .pull-left-40[ (можно построить аналогичные при другом выборе) Посчитаем условную вероятность "в лоб", сверяясь с картинкой. <br/><br/> ] -- .pull-right-60[  .tiny[Rick Block, Public domain, via Wikimedia Commons] ] -- Пусть вы вначале выбрали дверь 1, а ведущий открыл дверь 3 и вы изменили свое решение, выбрав дверь 2. <br/> Тогда условная вероятность выигрыша будет равна вероятности того, что ведущий открыл дверь 3 и машина за дверью 2, деленной на вероятность того, что ведущий открыл дверь 3. `\(P(M = 2|X = 3) = \frac{1/3}{1/3 + 1/6} = 2/3\)` --- ## Более формальное решение .pull-left-55[  .tiny[Rick Block, Public domain, via Wikimedia Commons] ] -- .pull-right-45[ Пусть игрок выбрал дверь 1 `\(M = 1, 2, 3\)` — за какой дверью машина? `\(X = 1, 2, 3\)` — какую дверь открывает Монти Холл? (предположим, 3) `\(P(X = 3|M = 1) = 1/2\)` `\(P(X = 3|M = 2) = 1\)` `\(P(X = 3|M = 3) = 0\)` <br/> ] -- Мы хотим узнать и сравнить две вероятности `\(P(M = 1|X = 3)\)` — т.е. игрок не меняет свой выбор `\(P(M = 2|X = 3)\)` — т.е. игрок изменяет выбор --- ## Применим теорему Байеса (1) .pull-left-55[  .tiny[Rick Block, Public domain, via Wikimedia Commons] ] .pull-right-45[ Пусть игрок выбрал дверь 1 `\(M = 1, 2, 3\)` — за какой дверью машина? `\(X = 1, 2, 3\)` — какую дверь открывает Монти Холл? (предположим, 3) `\(\color{blue}{P(X = 3|M = 1)} = 1/2\)` `\(\color{red}{P(X = 3|M = 2)} = 1\)` `\(\color{purple}{P(X = 3|M = 3)} = 0\)` `\(\color{green}{P(M = 1, 2, 3)} = 1/3\)` ] -- Если игрок __не меняет__ свой выбор .large[ `\(P(M = 1|X = 3) = \frac{\color{blue}{P(X=3,M=1)}}{P(X=3)}=\)` ] -- .large[ `\(= \frac{\color{blue}{P(X=3|M=1)}\color{green}{P(M=1)}}{\sum^{3}_{i = 1} P(X=3|M=i)\color{green}{P(M=i)}} =\)` ] -- .large[ `\(= \frac{\color{blue}{P(X=3|M=1)}\color{green}{P(M=1)}}{\color{blue}{P(X=3|M=1)}\color{green}{P(M=1)}\;+\;\color{red}{P(X=3|M=2)}\color{green}{P(M=2)}\;+\;\color{purple}{P(X=3|M=3)}\color{green}{P(M=3)}} =\)` ] -- .large[ `\(=\frac{\color{blue}{1/2} \cdot \color{green}{1/3}}{\color{blue}{1/2} \cdot \color{green}{1/3} + \color{red}{1} \cdot \color{green}{1/3} + \color{purple}{0} \cdot \color{green}{1/3}} = \frac{1/6}{1/2} = 1/3\)` ] --- ## Применим теорему Байеса (2) .pull-left-55[  .tiny[Rick Block, Public domain, via Wikimedia Commons] ] .pull-right-45[ Пусть игрок выбрал дверь 1 M = 1, 2, 3 — за какой дверью машина? X = 1, 2, 3 — какую дверь открывает Монти Холл? (предположим, 3) `\(\color{blue}{P(X = 3|M = 1)} = 1/2\)` `\(\color{red}{P(X = 3|M = 2)} = 1\)` `\(\color{purple}{P(X = 3|M = 3)} = 0\)` `\(\color{green}{P(M = 1, 2, 3)} = 1/3\)` ] -- Если игрок __изменяет__ свой выбор `\(P(M = 2|X = 3) = \frac{\color{red}{P(X=3,M=2)}}{P(X=3)}=\)` -- `\(= \frac{\color{red}{P(X=3|M=2)}\color{green}{P(M=1)}}{\sum^{3}_{i = 1} P(X=3|M=i)\color{green}{P(M=i)}} =\)` -- `\(= \frac{\color{red}{P(X=3|M=2)}\color{green}{P(M=1)}}{\color{blue}{P(X=3|M=1)}\color{green}{P(M=1)}\;+\;\color{red}{P(X=3|M=2)}\color{green}{P(M=2)}\;+\;\color{purple}{P(X=3|M=3)}\color{green}{P(M=3)}} =\)` -- `\(=\frac{\color{red}{1} \cdot \color{green}{1/3}}{\color{blue}{1/2} \cdot \color{green}{1/3} + \color{red}{1} \cdot \color{green}{1/3} + \color{purple}{0} \cdot \color{green}{1/3}} = \frac{1/3}{1/2} = 2/3\)` ??? Геометрическая интерпретация теоремы Байеса https://www.youtube.com/watch?v=HZGCoVF3YvM Там же пересказана чудесная история из Канемана про Стива-фермера/библиотекаря, которую, при случае, можно было бы рассказать во время практики.