class: middle, left, inverse, title-slide .title[ # Связь между категориальными переменными ] .subtitle[ ## Основы биостатистики, осень 2022 ] .author[ ### Марина Варфоломеева ] --- - Описание связи между категориальными переменными - Риск - Шансы - Шансы или риск? - Тест сопряженности хи-квадрат - Точный критерий Фишера - G-тест --- class: middle, center, inverse # Описание связи между категориальными переменными --- ## Таблицы сопряженности __Таблицы сопряженности__ (contingency tables) показывают, как частоты категорий по одной переменной зависят от значения другой категориальной переменной. Можно узнать: - Различается ли вероятность быть съеденной птицей у ярких и темных улиток? - Насколько более вероятно развитие рака легких у курильщиков по сравнению с некурящими? - Будет ли ниже вероятность инфаркта у людей, принимающих аспирин? <br/> -- Можно оценить - относительный риск - соотношение шансов Можно протестировать гипотезы о разнице вероятностей --- ## Анализ сопряженности __Анализ сопряженности__ позволяет оценить, насколько связаны ("сопряжены") друг с другом категориальные переменные. Если переменные независимы, то значение одной из переменных не дает информации о вероятностях категорий другой переменной. <br/> Слева — смерти среди 2092 пассажиров Титаника (данные из Dawson, 1995). Справа — тот же график, если бы вероятность гибели не зависела от пола.  .tiny[рис. 9.1-1 из Whitlock, Schluter, 2015] --- ## Аспирин и рак Аспирин используется для лечения головной боли, простуды, профилактики инфаркта и инсульта. В некоторых описательных исследованиях предположили, что он может снижать риск рака. Экспериментальное слепое исследование (Cook et al. 2005): - опыт: 19934 женщины — аспирин 100 мг/день - контроль: 19942 женщины — плацебо .pull-left[ Через 10 лет наблюдений у некоторых развился рак. | | Аспирин | Плацебо | |----------|---------|---------| | Рак | 1 438 | 1 427 | | Нет рака | 18 496 | 18 515 | | Сумма | 19 934 | 19 942 | ] -- .pull-right[  .tiny[рис 9.2-1 из Whitlock, Schluter, 2015] ] -- Можно вычислить вероятности возникновения рака в двух группах. Но хочется описать данные __одним числом__: риск или шансы. --- class: middle, center, inverse # Риск --- ## Риск __Риск__ (risk) — другое название вероятности определенного исхода. <br/> -- ------ ### В примере про аспирин | | Аспирин | Плацебо | |----------|---------|---------| | Рак | 1 438 | 1 427 | | Нет рака | 18 496 | 18 515 | | Сумма | 19 934 | 19 942 | -- #### Риск Aспирин: `\(p_1 = 1438/19934 = 0.0721\)` Плацебо: `\(p_2 = 1427/19942 = 0.0716\)` --- ## Отностительный риск __Отностительный риск__ (relative risk) — способ сравнения вероятности (риска) определенного исхода ("успеха") между двумя группами. Отношение выборочных оценок вероятностей этого исхода в сравниваемых группах. `$$RR=\frac{p_1}{p_2}$$` -- `\(0 \le RR < \infty\)` Если `\(RR = 1\)`, то риск одинаков в обеих группах. --- ## В примере про аспирин | | Аспирин | Плацебо | |----------|---------|---------| | Рак | 1 438 | 1 427 | | Нет рака | 18 496 | 18 515 | | Сумма | 19 934 | 19 942 | -- #### Риск Aспирин: `\(p_1 = 1438/19934 = 0.0721\)` Плацебо: `\(p_2 = 1427/19942 = 0.0716\)` -- #### Относительный риск `\(RR=\frac{0.0721}{0.0716} = 1.007\)` -- Т.е. при приеме аспирина относительный риск развития рака даже немного возрастает по сравнению с плацебо. -- Хотелось бы доверительный интервал. --- ## Стандартная ошибка и доверительный интервал для относительного риска .pull-left-40[ | | опыт | контроль | |:--------- |:----:|:--------:| | "успех" | a | b | | "неудача" | c | d | | Сумма | a + c| b + d | ] -- .pull-right-60[ Относительный риск `\(RR=\frac{p_1}{p_2}\)` несимметричен `\(0 \le RR < \infty\)` Его логарифм `\(\ln(RR)=\ln\big(\frac{p_1}{p_2}\big)\)` симметричен `\(-\infty \le ln(RR) < \infty\)` ] -- <br/> Поэтому сначала делают вычисления в логарифмической шкале: `$$SE_{\ln(RR)}=\sqrt{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a + c}+\frac{1}{b + d}}$$` `$$\ln(RR) -|z| \cdot SE_{\ln(RR)} \le \ln(RR) \le \ln(RR) +|z| \cdot SE_{\ln(RR)}$$` Для 95% доверительного интервала `\(|z_{\text{н.}}| = 1.96\)` -- Потом границы интервала трансформируют обратно в шкалу относительного риска: `$$e^{\ln(RR) -|z| \cdot SE_{\ln(RR)}} \le RR \le e^{\ln(RR) +|z| \cdot SE_{\ln(RR)}}$$` --- ## Доверительный интервал к риску в примере | | Аспирин | Плацебо | |----------|---------|---------| | Рак | 1 438 | 1 427 | | Нет рака | 18 496 | 18 515 | | Сумма | 19 934 | 19 942 | Относительный риск: `$$RR=1.007$$` -- Стандартная ошибка: `$$SE_{\ln(RR)}=\sqrt{\frac{1}{1438}+\frac{1}{1427}+\frac{1}{19934}+\frac{1}{19942}} = 0.0387$$` Границы 95% доверительного интервала: `$$e^{\ln(1.007) - 1.96 \cdot 0.0387} \le RR \le e^{\ln(1.007) + 1.96 \cdot 0.0387} \\ 0.933 \le RR \le 1.09$$` -- Доверительный интервал включает 1. Скорее всего влияние аспирина на риск возникновения рака очень невелико. --- ## Изменение риска -- .pull-left[ __Снижение относительного риска__ (reduction in relative risk) — насколько снижается риск определенного исхода в одной группе по сравнению с другой (с контролем). `$$1 - RR$$` ] -- .pull-right[ __Снижение абсолютного риска__ (reduction in absolute risk) — разница абсолютного риска в одной группе (в контроле) по сравнению с другой. `$$p_2 - p_1$$` ] <br/> -- Иногда бывает, что относительный риск сильно меняется, а абсолютный - ничтожно мало (т.к. очень редкий исход) <br/> -- ----- При приеме аспирина .pull-left[ Относительное: `\(1 - 1.007 = -0.007\)` Риск развития рака возрастает на 0.007 ] -- .pull-right[ Абсолютное: `\(0.0716 - 0.0721 = -0.0005\)` Вероятность развития рака возрастает на 0.0005 ] --- class: middle, center, inverse # Шансы --- ## Шансы __Шансы__ (odds) — это иной способ записи вероятностей: вероятность "успеха", делённая на вероятность "неудачи". -- `$$O=\frac{p}{1-p}$$` `\(0 \le O < \infty\)` -- <br/> | Вероятность p | Шансы O | | | ------------- | ----------- | ------------------- | | 0.5 | 1:1 = 1 | 1 успех : 1 неудача | | 0.1 | 1:9 = 0.111 | 1 успех : 9 неудач | | 0.0909 | 1:10 = 0.1 | 1 успех : 10 неудач | <br/> .pull-left[ Вероятность - 0.75 - 0.25 - 0.8 - 0.2 ] -- .pull-right[ Шансы - 3:1 - 1:3 - 4:1 - 1:4 ] --- ## Отношение шансов __Отношение шансов__ (odds ratio) — используется для сравнения шансов определенного исхода между двумя группами (например, опытом и контролем). `$${OR}=\frac{O_1}{O_2} = \cfrac{p_1/(1-p_1)} {p_2/(1-p_2)}$$` -- `\(0 \le OR < \infty\)` Если `\(OR = 1\)`, то шансы "успеха" одинаковы в обеих группах. <br/> -- Частоты категорий в двух группах: | | опыт | контроль | |:--------- |:----:|:--------:| | "успех" | a | b | | "неудача" | c | d | -- Краткая формула: `$${OR}= \cfrac{a/c}{b/d} = \cfrac{ad}{bc}$$` --- class: split-30 .row[.content[.split-two[ .column[.content[ ## В примере про аспирин | | Аспирин | Плацебо | |----------|---------|---------| | Рак | 1 438 | 1 427 | | Нет рака | 18 496 | 18 515 | | Сумма | 19 934 | 19 942 | ]] .column[.content[ <br/> частоты категорий | | опыт | контроль | |:--------- |:----:|:--------:| | "успех" | a | b | | "неудача" | c | d | ]] ]]] .row[.content[.split-two[ .column[.content[.split-three[ .row[.content[ ### Риск Aспирин: `\(p_1 = 1438/19934 = 0.0721\)` ]] .row[.content[ Плацебо: `\(p_2 = 1427/19942 = 0.0716\)` ]] .row[.content[ Относительный риск: `\(RR=\frac{0.0721}{0.0716} = 1.007\)` ]] ]]] .column[.content[.split-three[ .row[.content[ ### Шансы Аспирин: `\(O_1 = \cfrac{0.0721}{1- 0.0721} = 0.0777\)` ]] .row[.content[ Плацебо: `\(O_2 = \cfrac{0.0716}{1- 0.0716} = 0.0771\)` ]] .row[.content[ Отношение шансов: `\(OR = 0.0777/0.0771 = 1.008\)` или `\(OR = \cfrac{1 438 \cdot 18 515}{1 427 \cdot 18 496} = 1.009\)`, т.к. уменьшилась ошибка округления ]] ]]] ]]] --- ## Стандартная ошибка и доверительный интервал для отношения шансов .pull-left-40[ | | опыт | контроль | |:--------- |:----:|:--------:| | "успех" | a | b | | "неудача" | c | d | | Сумма | a + c| b + d | ] -- .pull-right-60[ Отношение шансов `\({OR}=\frac{O_1}{O_2}\)` несимметрично `\(0 \le OR < \infty\)` Его логарифм `\(\ln(OR)=\ln\big(\frac{O_1}{O_2}\big)\)` симметричен `\(-\infty \le ln(OR) < \infty\)` ] -- Поэтому сначала делают вычисления в логарифмической шкале: `$$SE_{\ln(OR)}=\sqrt{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}}$$` `$$\ln(OR) -|z| \cdot SE_{\ln(OR)} \le \ln(OR) \le \ln(OR) +|z| \cdot SE_{\ln(OR)}$$` Для 95% доверительного интервала `\(|z_{\text{н.}}| = 1.96\)` -- Потом границы интервала трансформируют обратно в шкалу шансов: `$$e^{\ln(OR) -|z| \cdot SE_{\ln(OR)}} \le OR \le e^{\ln(OR) +|z| \cdot SE_{\ln(OR)}}$$` --- ## Доверительный интервал к отношению шансов в примере | | Аспирин | Плацебо | |----------|---------|---------| | Рак | 1 438 | 1 427 | | Нет рака | 18 496 | 18 515 | Относительный риск: `$$OR=1.009$$` -- Стандартная ошибка: `$$SE_{\ln(RR)}=\sqrt{\frac{1}{1438}+\frac{1}{1427}+\frac{1}{18 496}+\frac{1}{18 515}} = 0.0388$$` Границы 95% доверительного интервала: `$$e^{\ln(1.009) - 1.96 \cdot 0.0388} \le RR \le e^{\ln(1.009) + 1.96 \cdot 0.0388} \\ 0.935 \le RR \le 1.09$$` -- Доверительный интервал включает 1. Скорее всего влияние аспирина на шансы возникновения рака крайне невелико. --- class: middle, center, inverse ## Шансы или риск? --- ## Шансы или риск? Обе меры используются в биологии Говорят, что `\(RR\)` более интуитивно-понятен `\(OR \approx RR\)` когда вероятность "успеха" в целом низка <br/> __Выбор зависит от дизайна исследования!__ --- ## Токсоплазма и автомобильные аварии _Toxoplasma gondii_ — это паразитический протист, заражающий мозг птиц и млекопитающих и влияющий на их поведение. 25% людей инфицированы токсоплазмой. Зараженность токсоплазмой в выборках водителей 21-40 лет, попадавших в автомобильные аварии и без истории аварий. (Yereli et al., 2006) Связан ли токсоплазмоз на вероятность попадания в аварию? .pull-left[ | | Инфекция | Нет инфекции | |---------------------|----------|--------------| | Водители с авариями | 61 | 124 | | Водители без аварий | 16 | 169 | ] -- .pull-right[  .tiny[рис.9.3-1 из Whitlock, Schluter, 2015] ] --- class: split-30 .row[.content[.split-two[ .column[.content[ ## Пример про токсоплазму .small[ | | Инфекция | Нет инфекции | |---------------------|----------|--------------| | Водители с авариями | 61 | 124 | | Водители без аварий | 16 | 169 | ] ]] .column[.content[ частоты категорий .small[ | | группа 1 | группа 2 | |:--------- |:--------:|:--------:| | "успех" | a | b | | "неудача" | c | d | ] ]] ]]] .row[.content[.split-two[ .column[.content[ ### Риск Вероятность аварии нельзя сосчитать Относительный риск не оценить ]] .column[.content[ ### Шансы Отношение шансов можно оценить `\(OR = \cfrac{61 \cdot 169}{16 \cdot 124} = 5.2\)` ]] ]]] --- ## Исследования типа случай-контроль (case-control studies) - спланированные описательные исследования - случайная выборка "случаев" сравнивается с выборкой "контролей" - оценивают долю субъектов под воздействием среди "случаев" и "контролей" - хорошо для исследования редких болезней - нельзя считать `\(RR\)`, т.к. соотношение случай:контроль задано исследователем - можно считать `\(OR\)`  -- Пример про токсоплазму --- ## Проспективные когортные исследования (prospective cohort studies) - спланированные описательные исследования - информация о субъектах (и о воздействии) собрана в начале исследования - судьбу субъектов прослеживают до наступления "исхода" - оценивают вероятность наступления "исхода" в зависимости от наличия воздействия - используются, например, для тестирования новых лекарств и методов лечения - можно считать и `\(RR\)`, и `\(OR\)`  -- Пример про аспирин --- ## Ретроспективные когортные исследования (retrospective cohort studies) - __не__ запланированные описательные исследования - информацию о субъектах (и о воздействии) на них собирают уже после того, как наступил (или нет) "исход" - оценивают вероятность наступления "исхода" в зависимости от воздействия - используются, например, для поиска и оценки потенциальных факторов риска - можно считать и `\(RR\)`, и `\(OR\)`  --- class: middle, center, inverse # Тест сопряженности хи-квадрат --- ## Паразиты рыб: "передай другому" У трематод _Euhaplorchis californiensis_ три хозяина в жизненном цикле: улитка, рыба и птица. Инфицированные рыбы проводят много времени у поверхности воды могут стать добычей птиц (Lafferty, Morris, 1996). Влияет ли уровень заражения трематодами на вероятность поедания птицами? .pull-left[ .small[ | | Нет заражения | Низкое | Высокое | Сумма | | ---------- | ------------- | ------ | ------- | ----- | | Съедены | 1 | 10 | 37 | 48 | | Не съедены | 49 | 35 | 9 | 93 | | Сумма | 50 | 45 | 46 | 141 | ] ] .pull-right[  .tiny[рис. 9.4-1 из Whitlock, Schluter, 2015] ] --- ## Тест сопряженности хи-квадрат `\(\chi^2\)`-тест позволяет протестировать гипотезу о независимости двух категориальных переменных. `\(H_0:\)` — категориальные переменные независимы друг от друга `\(H_A:\)` — категориальные переменные зависимы <br/> -- ----- В примере: `\(H_0:\)` — будет ли съедена улитка птицей не зависит от уровня заражения улитки трематодами `\(H_A:\)` — поедание улитки птицей зависит от уровня заражения улитки трематодами --- ## Ожидаемые частоты в тесте сопряженности хи-квадрат Если переменные независимы (при `\(H_0\)`), вероятность попадания в какую-то категорию по каждой из переменных равна произведению вероятностей этих категорий. `\(P(row, col) = P(row) \cdot P(col) = \cfrac{N_{row}}{N} \cdot \cfrac{N_{col}}{N}\)` Чтобы получить частоты, умножаем на общее число наблюдений. Т.е. коротко: `\(Expected(row, col) = \cfrac{N_{row} N_{col}}{N}\)` -- ------- .pull-left[ Наблюдаемые частоты .small[ | | Нет заражения | Низкое | Высокое | Сумма | | ---------- | ------------- | ------ | ------- | ----- | | Съедены | 1 | 10 | 37 | 48 | | Не съедены | 49 | 35 | 9 | 93 | | Сумма | 50 | 45 | 46 | 141 | ] ] .pull-right[ Ожидаемые частоты .small[ | | Нет заражения | Низкое | Высокое | Сумма | | ---------- | ------------- | ------ | ------- | ----- | | Съедены | 17.0 | 15.3 | 15.7 | 48 | | Не съедены | 33.0 | 29.7 | 30.3 | 93 | | Сумма | 50 | 45 | 46 | 141 | ] ] --- ## Хи-квадрат статистика для таблиц сопряженности `$$\chi^2 = \sum^r_{row = 1}\sum^с_{col = 1} \cfrac{(Observed_{(row, col)} - Expected_{(row, col)})^2}{Expected_{(row, col)}}$$` `\(df = (r - 1)(c - 1)\)` Односторонний тест ------- .pull-left[ Наблюдаемые частоты .small[ | | Нет заражения | Низкое | Высокое | Сумма | | ---------- | ------------- | ------ | ------- | ----- | | Съедены | 1 | 10 | 37 | 48 | | Не съедены | 49 | 35 | 9 | 93 | | Сумма | 50 | 45 | 46 | 141 | ] ] .pull-right[ Ожидаемые частоты .small[ | | Нет заражения | Низкое | Высокое | Сумма | | ---------- | ------------- | ------ | ------- | ----- | | Съедены | 17.0 | 15.3 | 15.7 | 48 | | Не съедены | 33.0 | 29.7 | 30.3 | 93 | | Сумма | 50 | 45 | 46 | 141 | ] ] <br/> `\(\chi^2 = \frac{(1-17.9)^2}{17.0} + \frac{(49 - 33.0)^2}{33.0} + \ldots = 69.5\)` `\(df = (2 - 1)(3 - 1) = 2\)` `\(p = 7.77e-16\)` -- Вероятность поедания птицей статистически значимо зависит от уровня заражения улитки трематодами. --- ### Условия применимости хи-квадрат теста сопряженности `\(\chi^2\)`-тест для таблиц сопряженности — это частный случай `\(\chi^2\)`-теста адекватности модели, поэтому условия применимости такие же. - наблюдения независимы друг от друга `\(\chi^2\)`-статистика приблизительно следует `\(\chi^2\)`-распределению, если: - нет _ожидаемых_ частот `\(< 1\)` - `\(\le 20\)` % _ожидаемых_ частот `\(< 5\)` -- <br/> Если условия нарушены: - Если таблица больше чем 2х2, можно __объединить редкие категории__, если они имеют биологический смысл - Если таблица 2х2, можно использовать __точный тест Фишера__ - Можно использовать __пермутационный тест__ --- ## Поправка на непрерывность __Поправка Йейтса на непрерывность__ (Yates correction for continuity) — используется в анализе таблиц сопряженности 2х2. Корректирует ошибку в результате аппроксимации дискретных вероятностей категорий непрерывным распределением `\(\chi^2\)`. `$$\chi^2 = \sum^r_{row = 1}\sum^с_{col = 1} \cfrac{\bigg(|Observed_{(row, col)} - Expected_{(row, col)}| - \cfrac{1}{2}\bigg)^2}{Expected_{(row, col)}}$$` Не рекомендуется. `\(\chi^2\)`-тест сопряженности с поправкой Йейтса становится слишком консервативным (Maxwell, 1976): значения p завышены. --- class: middle, center, inverse # Точный критерий Фишера --- ## Точный критерий Фишера __Точный критерий Фишера__ (Fisher's exact test) — тест для таблиц сопряженности 2х2 `\(H_0:\)` — категориальные переменные независимы друг от друга `\(H_A:\)` — категориальные переменные зависимы <br/> - даёт точное значение p - работает и с малыми ожидаемыми частотами Вручную считать сложно. ??? Muriel Bristol - the lady tasting tea --- ## Питание вампиров Летучие мыши-вампиры _Desmodus rotundus_ в Коста Рике часто питаются кровью крупного рогатого скота. Кажется, они предпочитают коров быкам, и возможно, реагируют на гормоны. Влияет ли эструс коров на вероятность быть укушенной вампиром (Turner, 1975)? .pull-left[ | | Эструс | Нет эструса | Сумма | |------------|--------|-------------|-------| | Укушена | 15 | 6 | 21 | | Не укушена | 7 | 322 | 329 | | Сумма | 22 | 328 | 350 | ] .pull-right[  .tiny[blog.seniorennet.be, CC0, via Wikimedia Commons] ] --- ## Хи-квадрат не подходит для этих данных .pull-left[ Наблюдаемые частоты | | Эструс | Нет эструса | Сумма | |------------|--------|-------------|-------| | Укушена | 15 | 6 | 21 | | Не укушена | 7 | 322 | 329 | | Сумма | 22 | 328 | 350 | ] .pull-right[ Ожидаемые частоты | | Эструс | Нет эструса | Сумма | |------------|--------|-------------|-------| | Укушена | 1.3 | 19.7 | 21 | | Не укушена | 20.7 | 308.3 | 329 | | Сумма | 22 | 328 | 350 | ] -- <br/> Данные не подходят для анализа при помощи хи-квадрат т.к. `\(\sim 1/4 > 20\%\)` ожидаемых частот `\(<5\)` --- ## Точный критерий Фишера .pull-left[ Наблюдаемые частоты | | Эструс | Нет эструса | |------------|--------|-------------| | Укушена | 15 | 6 | | Не укушена | 7 | 322 | ] .pull-right[ ] <br/> Сколько возможно еще более "экстремальных" (менее вероятных) таблиц? Суммы по строкам и столбцам не должны при этом меняться. -- .pull-left-66[  ] .pull-right-33[ Точный критерий Фишера учтёт вероятности __всех__ возможных более экстремальных таблиц. <br/><br/><br/><br/><br/> .tiny[Whitlock, Schluter, 2015] ] В нашем примере `\(p < 10^{-10}\)`. -- У коров вероятность быть укушенной вампиром статистически-значимо связана с эструсом. ??? Предполагается, что вампиры минимизируют потребление коровьих гормонов, которые могут влиять на размножение летучих мышей (во время эструса минимальная концентрация). --- ## Особенности точного критерия Фишера - Чрезмерно консервативен (альтернатива - тест Бошлу, Boschloo's test) - Не так уж и "точен", т.к. используются вероятности таблиц при зафиксированных значениях сумм по строкам и столбцам (а они могут меняться в выборках). - Не подходит для стратифицированных данных (тест Кокрана-Мантела-Хензела, Cochran–Mantel–Haenszel test) --- class: middle, center, inverse # G-тест --- ## G-тест __G-тест__ основан на вычислении правдоподобий, но может применяться как тест для таблиц сопряженности. `\(H_0:\)` — категориальные переменные независимы друг от друга `\(H_A:\)` — категориальные переменные зависимы `$$G = 2 \sum^r_{row = 1} \sum^c_{col = 1} Observed_{(row, col)} \cdot \ln \big(\cfrac{Observed_{(row, col)} }{Expected_{(row, col)} }\big)$$` При `\(H_0\)` распределение `\(G \sim \chi^2\)` с числом степеней свободы `\(df = (r - 1)(c - 1)\)` Односторонний тест --- ## Особенности G-теста - При малых объемах выборок менее точен, чем другие (Agresti, 2002). Лучше использовать точный критерий Фишера. - Подходит для данных со множеством переменных-предикторов (Sokal, Rholf, 1995; Agresti, 2002) --- class: middle, center, inverse # Summary --- ## Summary Таблицы сопряженности (contingency tables) показывают, как частоты категорий по одной переменной зависят от значения другой категориальной переменной. Анализ сопряженности позволяет по таблице частот оценить, насколько связаны ("сопряжены") друг с другом категориальные переменные. --- ## Summary - Риск - вероятность определенного исхода. - Шансы - вероятность наступления определенного исхода, делённая на вероятность его не наступления - Для описания связи между переменными используются - относительный риск - отношение выборочных оценок вероятностей исхода в сравниваемых группах - отношение шансов - В исследованиях типа случай-контроль нельзя рассчитывать относительный риск, т.к. вероятности некоторых категорий заданы исследователем, а не свойствами выборки. --- ## Summary - Для анализа таблиц сопряженности используется тест сопряженности `\(\chi^2\)`, который позволяет протестировать гипотезу о независимости двух категориальных переменных. - При нарушении условий применимости `\(\chi^2\)`-теста для тестирования гипотезы о независимости используют точный критерий Фишера. - Для тестирования гипотезы о независимости категориальных переменных часто используют G-тест, но он плохо работает на малых выборках, по-этому предпочтительнее использовать точный критерий Фишера или обычный тест сопряженности `\(\chi^2\)`. --- ## Что почитать Agresti, A., Franklin, C. A., & Klingenberg, B. (2017). Statistics: The art and science of learning from data (Fourth edition). Pearson. Whitlock, M., & Schluter, D. (2015). The analysis of biological data (Second edition). Roberts and Company Publishers.